CALCULO DIFERENCIAL: UNIDAD 1

        La grafica muestra el número de Autos vendidos por un concesionario en los últimos 3 años. De acuerdo con esta grafica conteste

        ¿Cuáles son la variable dependiente e independiente?

Respuesta: La variable independiente son los meses del año y la variable dependiente es la cantidad de autos vendidos.

        ¿En qué momento del año 2016 se venden menos autos?

Respuesta: Se venden menos autos en el mes de agosto

        ¿En qué año se vendieron más autos? Justifique su respuesta.

Respuesta: Se venden en el año 2016 ya que la variable pendiente dice que se vendieron un aproximado de 975 autos

        ¿En qué año se vendieron menos autos? Justifique su respuesta.

Respuesta: Se vendieron menos autos en el año 2016 en el mes de agosto ya que la variable pendiente dice que se vendieron un promedio de 75 autos.

        Determine el rango y dominio de la siguiente función:

𝑓 (𝑥)=x^2+2

 

𝑓 (𝑥)=x^2+2

X      F(x)

-2     6

-1     3

0      2

1      3

2      6

= 〖(-2)〗^2+2

=  4 + 2

=  6

Dominio (f) = son todos los números Reales

Rango   (f) =      [2, ∞)

        Construya de su autoría las siguientes funciones de acuerdo con su tipo y los parámetros especificados en la tabla:

        Variable dependiente   Variable Independiente

Función Lineal    x      y

Función Polinómica      z       t

Función Radical   c      d

Función Racional t       u

Función Trigonométrica       a      b

Función Lineal:

x: variable dependiente

y: variable independiente

x= my + b

x = 2y+ 4

Función Polinómica:

z: variable dependiente

t: variable independiente

z (t)= 2t^2+3t-6

z =   2t^2+3t-6

Función Radical:

c: Variable dependiente

d: Variable Independiente

c(d)= 4 - √d+2

Función Racional

t: variable dependiente

u: variable independiente

t(u)=(u+4)/(u+2)

Función Trigonométrica

a: variable dependiente

b: variable independiente

a(b)= a(b)=cos⁡〖(b)〗

        Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos:

A(3,2)  y B(-1,-2)

Especificar también la pendiente 𝑚 de la recta.

m=(y_2-y_1  )/(x_2-x_1 )

m=(-2-2)/(-1-3)=(-4)/(-4)=1

Ahora con la pendiente se procede a calcular la ecuación de la recta haciendo uso de la ecuación:

y − y_1 = m(x − x_1)

y - 2 = 1(x - 3)

y – 2 = x – 3

y – 2 – x + 3 = 0

–x + y + 1= 0

–1 (-x+y+1)

x – y –1

y = x – 1

           Dada la siguiente sucesión determine:

U_n=(n+3)/2

        Si converge o diverge

La sucesión es divergente porque van aumentando y tiene un límite infinito (∞).

        Sus 5 primeros términos.

U_1=(1+3)/2=  4/2=2

U_2=(2+3)/2=  5/2=2.5

U_3=(3+3)/2=  6/2=3

U_4=(4+3)/2=  7/2=3.5

U_5=(5+3)/2=  8/2=4

        Sus cotas superior e inferior (si las tiene)

        Cota superior:

lim/(n→∞)  〖   U〗_n

lim/(n→∞)        (n+3)/2

(n/n+3/n)/(2/n)  =   (1+3/∞)/(2/∞)    =    (1+0)/0  =1/0   =∞

No tiene Cota superior ya que su resultado es   ∞ 

        Cota inferior: 

Cota inferior   2

GRAFICAS – GEOGEBRA

        Realizar las gráficas en Geogebra de acuerdo con los lineamientos brindados en el OVI “Funciones en Geogebra”.

        Realizar una interpretación para cada una de las gráficas obtenidas, estableciendo claramente tipo de función, rango y dominio, puntos de intersección, vértice (si lo tiene) y asíntotas (si las tiene). Este análisis debe realizarse en un párrafo para cada gráfica asignada relacionando la captura de pantalla de cada una de las gráficas obtenidas en Geogebra

  

        Entregar gráficas e interpretación escrita en documento .doc, durante la semana (2) en el foro de desarrollo de la actividad (entorno de aprendizaje colaborativo), dejando clara evidencia de participación significativa.

        𝑦 = 2𝑥+2 

Esta función es de tipo lineal con pendiente m=1 por lo tanto es creciente y por lo tanto cuyos puntos de intersección son: el eje y (0,2) y en el eje x (-1,0) su dominio corresponde a todos los valores en x pertenecientes a los números reales: dominio (-∞, ∞); { x|x∈R } y su rango a todos los valores en  y perteneciente a los números reales rango (-∞, ∞); { x|x∈R } esta función no tiene vértice ni asíntotas.

  

        y=x^2

  

Esta función es tipo potencia ya que el valor de A>0 la parábola abre hacia arriba cuyos puntos de intersección son: el eje y (0,0) y el eje x (0,0), su dominio corresponde a todos los valores en   x desde el menos infinito hasta el más infinito: Dominio (-∞, ∞); { x|x∈R } y su rango a todos los valores en y  a los números pertenecientes a los números  reales  desde 0 hasta más Infinito (∞): rango  [0;∞);{y|y≥0}. Su vértice es el punto más bajo el cual coincide con la intersección en (0,0). Esta función no tiene asíntotas. 

        y=x^2+3x-4

Es una función Cuadrática ya que el valor es a<0 la parábola abre hacia arriba y tiene un punto de intersección en el eje   y  = (0,-4)  y en el eje x (-4, 0). Su dominio corresponde a todos los valores en x correspondiente a los números reales: dominio (-∞;∞);{x|x∈R} y su rango a todos los valores y perteneciente a los números reales mayores a  (-6.25; ∞); {y│y≥6.25}.  El vértice es (-1.5; 6.25). La función no tiene asíntotas.

         y=(x+3)/(x-2) 

Esta función es de tipo racional y tiene punto de intersección en el eje y=-3/2  y punto de intersección en el eje x=(-3.0)  . El dominio de la función corresponde a todos los valores en  x   correspondientes a los números reales. Su rango de la función: y€R-{1} La Función tiene una asíntota vertical de  x=2  y asíntota horizontal de  y=1. Esta función no tiene vértice.

        y=sen(x) 

Esta Función es tipo trigonométrica y por tanto es periódica. Tiene punto de intersección en el eje y=(0,0) y punto de intersección en el eje x=(±πn;0) su dominio corresponde a todo los valores en x pertenecientes a los números reales: dominio = (-∞;∞);{x|x∈R} su rango a todos los valores a todos los valores en y perteneciente a los números reales menores o iguales a -1 & 1. Rango =[-1;1];{y|-1≤y≤1}. Tiene una amplitud = 1 y su periodo T=2Π. La función no tiene asíntotas y no tiene vértice. 

1.La gráfica muestra el número de autos vendidos por un concesionario en los últimos 3 años. De acuerdo con esta gráfica conteste:

a.     ¿Cuales son la variable dependiente e independiente?

El numero de autos depende del tiempo =y

El tiempo es independiente =x

b.     ¿En qué momento del año 2017 se venden más autos?

En junio ya que nos muestra su punto mas alto. =750 unidades

c.     ¿En qué año se vendieron más autos? Justifique su respuesta.

Mes   2016 2017 2018

Enero        150   250   450

Febrero     350   400   650

Marzo        240   550   850

Abril  130   650   350

Mayo 550   350   350

Junio 350   750   350

Julio  250   250   530

Agosto       450   350   650

Septiembre        350   250   650

Octubre     250   350   620

Noviembre 450   550   770

Diciembre  350   570   780

TOTAL       3870 5270 7290

2016 fue el año con menores ventas

2018 fue el año con mayores ventas

       

2.  Determine el rango y dominio de la siguiente función:

f(x)=x^4-2

x      f(x)

-10   9998

-9     6559

-8     4094

-7     2399

-6     1294

-5     623

-4     254

-3     79

-2     14

-1     -1

0      -2

1      -1

2      14

3      79

4      254

5      623

6      1294

7      2399

8      4094

9      6559

10     9998

El dominio de la funcion es (-∞,∞) tal que todo x pertenece a los numeros R  

                                                                                                                

El rango de la funcion es el intervalo [-2,∞) tal que todo y sea mayor o igual que -2                                         

                

Construya de su autoría las siguientes funciones de acuerdo con su tipo y los parámetros especificados en la tabla:

        Variable dependiente   Variable independiente

Función lineal     x      y

Función polinómica      z       t

Función radical   c      d

Función racional  t       u

Función trigonométrica a      b

                                      

                                              

Lineal

        y=2x+1                           

Polinómica

z=t^(2  )-2t+6  

Radical

c=∜(16d^6 ) 

Racional

(u-1)/(u^2+2u-1)

Trigonometría

A= senb

        Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos:

P(4,1)  y Q(-1,-3)

(y_2-y_1)/(x_2-x_1 )=m

m=(-3-1)/(-1-4)

m=(-4)/(-5)=4/(5 )   pendiente

y=m(x-x_1 )+y_2

y=  4/5 (x-4)+1

y=4/5 x-16/5+1

y=4/5 x-11/5  ecuacion

        Dada la siguiente sucesión determine:

U_n=(2n-3)/4

lim┬(n→∞)⁡〖〖((2n-3)/4)=∞〗^ 〗

        Si converge o diverge

        Sus 5 primeros términos

        Si converge o diverge

Serie diverge

        Sus 5 primeros términos

-3/4,-1/4,1/4,3/4,5/4

c.     Sus cotas superior e inferior (si las tiene)

no tiene cotas.

       

        Variable dependiente: Numero de autos vendidos

Variable independiente: Tiempo en meses

        En el mes de marzo

        Año 2.016: 375 - 150=225 Autos

Año 2.017: 675 – 375 = 300 Autos

Año 2.018: 790 – 675 = 115 Autos

En el año 2.017 se vendieron más autos

        En el año 2.018 se vendieron aproximadamente 790 – 675 = 115 Autos siendo el año de mayor venta.

2.     f(x) = x³+3

D_F:IR→ Por ser una función polinómica no tiene restricción en los valores de  X

Rango:           y=x^3+3

y-3 =x^3

x=∛y-3

R_f: IR  Por ser una función radical impar no hay restricción en los valores de Y

3. Función lineal: Y=3X-5

Función polinómica: t = 3z^2-5z+8

Función radical: d=√(c-5)

Función Racional: U=  (t-5)/(t+6)

Función Trigonométrica: b=cos⁡〖 (a)〗

4.  P (4,1)     Y     Q (-1,-3)

X_1 Y_2                     X_2 〖  Y〗_2

m=(y_2-y_1)/(〖x_2〗_- x_1 )  =(-3-1)/(-1-4)

m=(-4)/(-5)=4/5

y-y_1-m(x   x_(1 ))

y-1=4/3(x-4)

5(y-1)=4(x-4)

5y-5=4x-16

4x-5y-16+5=0

4x-5y-11=0

5.   Un=(n^2-1)/2

a1=(1^2-1)/2  =  0/( 2 )  = 0

a2=(2^2-1)/2=  (4-1)/2=  3/2

a3=  (3^2-1)/2=(9-1)/2=  8/2=4

a4=  (4^2-1)/2=  (16-1)/2=17/2

a5=(5^2-1)/2=(25-1)/2=24/2=12

        Como an+1> an entonces es una secesión divergente.

        Ver procedimiento anterior

        No tiene cota superior por ser una sucesión divergente

Una cota inferior es el cero (0)

Graficas

        y=5x+1

        Tipo de función: Función lineal

        Rango y dominio:

Dominio: R --> Por ser una función lineal

Rango: R  Por ser una función lineal

        Puntos de intersección:

x- intercepto -> Y = 0

0=5x+1→x=  (-1)/5   p ( (-1)/5  )  ,0

Y – Intercepto  x=0

Y= 5(0) +1

Y= 0+1

Y= 1                          Q(0,1)

        Vértice: No tiene

        Asíntota: No tiene

  

         Y= 2x³

        Tipo de función: Función cubica (Potencia)

        Rango y dominio

Dominio: IR  No tiene restricciones por ser una función polinómica

Rango: y=2x^3-→  x∛(y/2)  No tiene restricciones para Y

Puntos de intersección (0,0)

Vértice: No tiene

Asíntota : No tiene 

        Y = x^4-4x+1

        Tipo de función: Función polinómica

        Rango y dominio

Dominio: IR  Función polinómica

Rango [-2,  )

        Puntos de intersección

x-Intercepto:   Y =0

X^4-4X+1=0

Al observar la grafica observamos que se curva corta el eje X en los puntos:

A(0,25:0)  Y     B ( 1,49:0)

Y- Intercepto

        Vértice en P(1,-2)

        Asíntota: No tiene 

D) y=  (x-1)/(x+2)

* Tipo de función: Función radical

* Rango y dominio

Rango       IR- {1}

        Dominio por ser una función racional se tiene que :

x+2≠0

x≠-2

D_f:R- {-2}

        Puntos de intersección:

        X=0  =(0-1)/(0+2)= -  1/2  P (0,(-1)⁄2)

Y=0→y=  (x-1)/(x+2)→0=(x-1)/(x+2)

X=1  Q (1,0)

        Vértice: No tiene

        Asíntotas

Tiene una asíntota vertical en  X= 2

Tiene una asíntota vertical en x=1

 

E) y= tan (x)

* Tipo de función: Función trigonométrica tangente

* Dominio: IR- {X€ IR│X=π/2+kπ,k e z}

* Rango: IR

* Punto de intersección (0,0) y

La función tangente se anula en los puntos

X=kπ,kE Z

        Vértices: No tiene

        Asíntotas: Presenta asíntota para valores de

X=  π/2  k π,   k e  z 

1. La gráfica muestra el número de autos vendidos por un concesionario en los últimos 3 años. De acuerdo con esta conteste:

        ¿Cuáles son las variables dependiente e independiente?

La variable dependiente corresponde a tiempo en meses y la independiente a número de autos vendidos.

        ¿En qué momento del año 2017 se venden menos autos?

Se venden menos autos en los meses de febrero, marzo y junio.

        ¿En qué año se vendieron más autos? Justifique su respuesta.

Se vendieron más autos en el año 2016, con promedio de 298,74 autos por mes.

        ¿En qué año se vendieron menos autos? Justifique su respuesta.

Se vendieron menos autos en el año 2018 con promedio de 249,58 autos por mes. 

2. Determine el rango y dominio de la siguiente función:

f(x)=2x/2+3

Rango: (-∞,∞);{y:y∈R┤}

Dominio: (-∞,∞);{x:x∈R┤}

3. Construya de su autoría las siguientes funciones de acuerdo con su tipo y los parámetros especificados en la tabla:

Tipos de Funciones      Variable dependiente   Variable independiente Funciones

Función lineal     g      h      g(h)=2h+3

Función polinómica      j       k      j(k)=k3+3k2+2k

Función radical   a      b      a(b)= √(b-3)

Función racional  q      w      q(w)=1/(w+5)

Función trigonométrica y      x      y(x)=A cos⁡x

        Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos:

P(3,-1)  y Q(2 ,4)

m=  Δy/Δx=(y_2-y1 )/(x_2-x_1  )  =  (4-(-1))/(2-3)=(4+1)/(4-3)=5/(-1)

m=5/(-1)

Especificar también la pendiente m de la recta.

y-y_1=m(x-x_1 )

y-(-1)_ =5/(-1) (x-3)

y+1=5/(-1) x (-15)/(-1)

y=5/(-1) x (-15)/(-1)--1

y=5/(-1) x-14

        Dada la siguiente sucesión determine:

U_n=n^2-2

        Si converge o diverge

La sucesión diverge ya que todos sus términos van aumentando, por lo que tiene límite infinito.

        Sus 5 primeros términos

U_1=1^2-2= -1

U_2=2^2-2= 2

U_3=3^2-2= 7

U_4=4^2-2= 14

U_5=5^2-2= 23

        Sus cotas superior e inferior (si las tiene)

La cota inferior es -3

GRAFICAS – GEOGEBRA

        Realizar las gráficas en Geogebra de acuerdo con los lineamientos brindados en el OVI “Funciones en Geogebra”.

        Realizar una interpretación para cada una de las gráficas obtenidas, estableciendo claramente tipo de función, rango y dominio, puntos de intersección, vértice (si lo tiene) y asíntotas (si las tiene). Este análisis debe realizarse en un párrafo para cada gráfica asignada relacionando la captura de pantalla de cada una de las gráficas obtenidas en Geogebra.

        y=6x+2

La función  y =6x+2 es lineal con una  pendiente de 6 lo que nos indica que va de  creciente, los puntos de intersección son: en el eje x=(-0.33,0) y en el eje y=(0,2) en donde su dominio corresponde a todos los valores en x pertenecientes a los números reales: Dominio (-∞;∞);{x|x∈R} y su rango a todos los valores en y pertenecientes a los números reales: Rango (-∞;∞);{y|y∈R.

        y=x^3

La función potencia,  y=x^3 tiene una  pendiente 0  y los puntos en en el eje x= (0) y en el eje y=(0) en donde su dominio es (-∞;∞) y  su Rango (-∞;∞)

        y=x^2+2x-1

Es una función cuadrática lo cual tiene una parábola hacia arriba a>0,  esta grafica presenta dos puntos de  intercepciones en X: A (-2,41) B (0,41) y en Y pasa por el punto -1; el vértice de esta parábola se presenta en (-1,-2)

        y=(x+7)/(5-x)

Esta función es de tipo racional y en la gráfica presenta una asíntota horizontal, porque el grado es igual del numerador y el denominador, tiene punto de intersección en el eje y= (0,1.4) y en el eje X (-7,0). Su dominio X ≠ 5

        y=Csc(x) 

Es una función trigonométrica, no presenta puntos  de intersección en ninguno de los dos ejes. Su dominio es R –nπ, n ∈ Z y su rango es < - ∞-1] ∪ [1, su periodo T=2Π.

. La gráfica muestra el número de autos vendidos por un concesionario en los últimos 3 años. De acuerdo con esta conteste:

        ¿Cuáles son la variable dependiente e independiente?

Variable independiente: tiempo en meses

Variable dependiente: número de autos vendidos

        ¿En qué momento del año 2016 se venden más autos?

Diciembre

        ¿En qué año se vendieron más autos? Justifique su respuesta.

En el año 2018 ya que el rango de ventas es el más elevado de los tres años

        ¿En qué año se vendieron menos autos? Justifique su respuesta.

En el año 2017 porque es en el que se observa el rango de ventas más bajo.

2. Determine el rango y dominio de la siguiente función:

f(x)=(2x+1)/3

Dominio: (-∞,∞);{x:x∈R┤}

Rango: (-∞,∞);{y:y∈R┤}

3. Construya de su autoría las siguientes funciones de acuerdo con su tipo y los parámetros especificados en la tabla:

        Variable dependiente   Variable independiente Función

Función lineal     z       x      z(x)=3x+1

Función polinómica      c      v      c(v)=7v^2+2v+6

Función radical   n      m     n(m)= √(m-3)

Función racional  o      p      o(p)=  1/(p-4)

Función trigonométrica g      h      g(h)=sin⁡h

4.  Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos: A(-3,1)  y B(-2 ,- 4) Especificar también la pendiente m de la recta.

Pendiente m

m=  Δy/Δx=  (y_2-y_1)/(x_2-x_1 )=(-4-1)/(-2-(-3))=(-5)/1=-5

Ecuación de la recta

y-y_1=m*(x-x_1 )

y-1= -5(x-(-3))

y-1= -5(x+3)

y-1= -5x-15

y= -5x-15+1

y=-5x-14

        Dada la siguiente sucesión determine:

U_n=n^2/3-2

        Si converge o diverge

La sucesión diverge ya que todos sus términos van aumentando, por lo que tiene límite finito.

U_n={-1.67,-0.66,1,3.33,6.33,10,14.33,…}

        Sus 5 primeros términos

U_1=1^2/3-2=  1/3-2=-5/3=-1,67

U_2=2^2/3-2=4/3-2=-2/3=-0,66

U_3=3^2/3-2=9/3-2=1

U_4=4^2/3-2=16/3-2=10/3=3,33

U_5=5^2/3-2=25/3-2=19/3=6,33

        Sus cotas superior e inferior (si las tiene)

La cota inferior es -2

Esta sucesión no está acotada superiormente

GRÁFICAS EN GEOGEBRA

        y=x+7

Esta función es de tipo lineal con pendiente m=1 por lo tanto es creciente y cuyos puntos de intersección son: en el eje y=(0,7) y en el eje x=(-7,0). Su dominio corresponde a todos los valores en x pertenecientes a los números reales: Dominio (-∞;∞);{x|x∈R} y su rango a todos los valores en y pertenecientes a los números reales: Rango (-∞;∞);{y|y∈R}.  Esta función no tiene vértice ni asíntotas.

        y=x^4

Esta función es de tipo potencia y ya que el valor de a>0 la parábola abre hacia arriba y cuyos puntos de intersección son: en el eje y= (0,0) y en el eje x= (0,0). Su dominio corresponde a todos los valores en x desde más infinito hasta menos infinito: Dominio (-∞;∞);{x|x∈R} y su rango a todos los valores en y pertenecientes a los números reales desde 0 hasta más infinito: Rango [0;∞);{y|y≥0}.  Su vértice es el punto más bajo el cual coincide con el punto de intersección en (0,0). Esta función no tiene asíntotas.

        y=x^2+x+1

 Esta función es cuadrática y ya que el valor de a>0 la parábola abre hacia arriba y tiene punto de intersección en el eje y=(0,1) y no tiene puntos de intersección en el eje x. Su dominio corresponde a todos los valores en x pertenecientes a los números reales: Dominio (-∞;∞);{x|x∈R}y su rango a todos los valores en y pertenecientes a los números reales mayores a 3/4   Rango [ 3/4;∞);{y│y≥3/4}. El vértice es (-1/2,3/4). La función no tiene asíntotas.

        y=(x-3)/(x+2)

Esta función es tipo racional y tiene punto de intersección en el eje y= (0,-3/2) y punto de intersección en el eje x= (3,0). Su dominio corresponde a todos los valores en x pertenecientes a los números reales menos -2: Dominio (-∞;-2)∪(-2;∞);{x|x≠-2} y su rango a todos los valores en y pertenecientes a los números reales menos 1:  Rango  (-∞;1)∪(1;∞);{y|y≠1}.   La función tiene asíntota vertical x=-2 y asíntota horizontal y= 1. Esta función no tiene vértice.

        y=2sen(x)

Esta función es tipo trigonométrica y por lo tanto es periódica. Tiene punto de intersección en el eje y= (0,0) y punto de intersección en el eje x=(±πn;0) . Su dominio corresponde a todos los valores en x pertenecientes a los números reales: Dominio= (-∞;∞);{x|x∈R} y su rango a todos los valores en y pertenecientes a los números reales menores o iguales a -2 y 2:  Rango =[-2;2];{y|-2≤y≤2}.   Tiene una amplitud= 2 y su periodo T=2Π. La función no tiene asíntotas. Esta función no tiene vértice.